Na essência, problemas matemáticos chamados equações diferenciais parciais (EDPs) modelam esses processos naturais. Dentre as muitas EDPs usadas em física e processamento de gráficos, uma classe chamada EDPs parabólicas de segunda ordem explica como os fenômenos podem se tornar suaves ao longo do tempo. O exemplo mais famoso desta classe é a equação do calor, que prevê como o calor se difunde ao longo de uma superfície ou num volume ao longo do tempo.
Pesquisadores em processamento de geometria projetaram inúmeros algoritmos para resolver esses problemas em superfícies curvas, mas seus métodos frequentemente se aplicam apenas a problemas lineares ou a uma única EDP. Uma abordagem mais geral de pesquisadores do Laboratório de Ciência da Computação e Inteligência Artificial do MIT (CSAIL) enfrenta uma classe geral desses problemas potencialmente não lineares.
Num artigo recentemente publicado no jornal Transactions on Graphics e apresentado na conferência SIGGRAPH, eles descrevem um algoritmo que resolve diferentes EDPs parabólicas não lineares em malhas triangulares, dividindo-as em três equações mais simples que podem ser resolvidas com técnicas já presentes no kit de ferramentas de software de pesquisadores gráficos. Essa estrutura pode ajudar a analisar melhor as formas e modelar processos dinâmicos complexos.
“Fornecemos uma receita: se você deseja resolver numericamente uma EDP parabólica de segunda ordem, pode seguir um conjunto de três passos”, diz a autora principal Leticia Mattos Da Silva SM ’23, uma doutoranda do MIT em engenharia elétrica e ciência da computação (EECS) e afiliada ao CSAIL. “Para cada um dos passos nesta abordagem, você está resolvendo um problema mais simples usando ferramentas mais simples no processamento de geometria, mas no final, obtém uma solução para a desafiadora EDP parabólica de segunda ordem.”
Para realizar isso, Da Silva e seus coautores utilizaram a divisão de Strang, uma técnica que permite aos pesquisadores de processamento de geometria quebrar a EDP em problemas que sabem resolver de forma eficiente.
Primeiramente, seu algoritmo avança a solução no tempo, resolvendo a equação do calor (também chamada de “equação de difusão”), que modela como o calor de uma fonte se espalha sobre uma forma. Imagine usar um maçarico para aquecer uma chapa de metal – esta equação descreve como o calor daquele ponto iria se difundir sobre ela. Este passo pode ser concluído facilmente com álgebra linear.
Agora, imagine que a EDP parabólica tenha comportamentos não lineares adicionais que não são descritos pela propagação de calor. É aqui que entra o segundo passo do algoritmo: ele leva em consideração a parte não linear resolvendo uma equação Hamilton-Jacobi (HJ), uma EDP não linear de primeira ordem.
Enquanto equações HJ genéricas podem ser difíceis de resolver, Mattos Da Silva e coautores provam que seu método de divisão aplicado a muitas EDPs importantes resulta em uma equação HJ que pode ser resolvida via algoritmos de otimização convexa. A otimização convexa é uma ferramenta padrão para a qual pesquisadores em processamento de geometria já possuem software eficiente e confiável. No último passo, o algoritmo avança a solução no tempo usando novamente a equação do calor para avançar a EDP parabólica de segunda ordem mais complexa no tempo.
Entre outras aplicações, a estrutura poderia ajudar a simular o fogo e as chamas de forma mais eficiente. “Existe um grande pipeline que cria um vídeo com chamas sendo simuladas, mas no cerne está um solucionador de EDPs”, diz Mattos Da Silva. Para esses pipelines, um passo essencial é resolver a G-equation, uma EDP parabólica não linear que modela a propagação frontal da chama e pode ser resolvida usando a estrutura dos pesquisadores.
O algoritmo da equipe também pode resolver a equação da difusão no domínio logarítmico, onde se torna não linear. O autor sênior Justin Solomon, professor associado da EECS e líder do Grupo de Processamento de Dados Geométricos do CSAIL, desenvolveu anteriormente uma técnica de ponta para transporte ótimo que requer tirar o logaritmo do resultado da difusão do calor. A estrutura de Mattos Da Silva proporcionou cálculos mais confiáveis ao realizar a difusão diretamente no domínio logarítmico. Isso possibilitou uma forma mais estável de, por exemplo, encontrar uma noção geométrica de média entre distribuições em malhas de superfície, como um modelo de um coalho.
Mesmo que a estrutura se concentre em problemas gerais e não lineares, também pode ser usada para resolver EDPs lineares. Por exemplo, o método resolve a equação Fokker-Planck, onde o calor se difunde de forma linear, mas existem termos adicionais que se movem na mesma direção em que o calor está se espalhando. Num aplicação direta, a abordagem modelou como remoinhos evoluiriam sobre a superfície de uma esfera triangulada. O resultado se assemelha a arte de café roxa e marrom.
Os pesquisadores observam que este projeto é um ponto de partida para enfrentar a não linearidade em outras EDPs que aparecem em processamento gráfico e geometria. Por exemplo, eles se concentraram em superfícies estáticas, mas gostariam de aplicar seu trabalho também a superfícies em movimento. Além disso, a estrutura deles resolve problemas envolvendo uma única EDP parabólica, mas a equipe também gostaria de enfrentar problemas envolvendo EDPs parabólicas acopladas. Esses tipos de problemas surgem em biologia e química, onde a equação que descreve a evolução de cada agente numa mistura, por exemplo, está ligada às equações dos outros.
Mattos Da Silva e Solomon escreveram o artigo com Oded Stein, professor assistente na Escola de Engenharia Viterbi da Universidade do Sul da Califórnia. Seu trabalho foi apoiado, em parte, por uma Bolsa do MIT Schwarzman College of Computing financiada pelo Google, uma Bolsa MathWorks, a Fundação Nacional da Ciência da Suíça, o Escritório de Pesquisa do Exército dos Estados Unidos, o Escritório de Pesquisa Científica da Força Aérea dos Estados Unidos, a Fundação Nacional da Ciência dos Estados Unidos, Laboratório de IA MIT-IBM Watson, Centro de Pesquisa Conjunta Toyota-CSAIL, Adobe Systems e Google Research.
Redação Confraria Tech.
Referências:
A framework for solving parabolic partial differential equations
